Induttanza simulata

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Di recente ho progettato diversi alimentatori variabile per testare amplificatori valvolari, in realtà ne ho progettati più di uno in contemporanea con caratteristiche diverse. Tutti hanno un componente in comune il giratore.
Il giratore è utilizzato come induttanza attiva, cioè simula il comportamento di una induttanza per quanto riguarda l’andamento dell’impedenza in base alla frequenza.
Nota: a differenza di una induttanza reale essa non cede l’energia, quindi lavora su un singolo quadrante, il che non ne inficia assolutamente il funzionamento per quanto riguarda il filtraggio. Con frequenze alte, e non è questo il caso, tende a comportarsi come generatore di corrente costante, con i 100Hz nel circuito in cui è inserito assolve la funzione desiderata e cioè da induttanza di filtro in un circuito a pi-greco CLC. Di per sé è molto efficiente in quanto si tratta di un filtro a condensatore seguito da un passa basso LC

il valore semplificato dell’induttanza simulata è

L = C*R1*R3

vediamo il caso del circuito in cui siano utilizzati i seguenti valori:
R1 = 100k
R2 = 100k
R3 =  27 Ohm
C =  22uF 
e confrontiamolo con una induttanza da 59 Henry.
L’immagine qui sotto ci mostra le curve del giratore in questione ( in viola ) e quella dell’induttanza ( giallo ) come possiamo vedere le curve sono quasi sovrapponibili.

da qui in avanti se volete continuare a leggere c’è la trattazione relativa al circuito in oggetto sia a livello matematico che a livello ingegneristico, quello matematico è fine a se stesso ed estremamente preciso, quello ingegneristico, tende a semplificare le cose quando l’errore e trascurabile in maniera da gestire qualcosa difficilmente gestibile anche a prezzo di una piccola discordanza tra i calcoli teorici e quelli semplificati.

IL GIRATORE: TRATTAZIONE MATEMATICA

il circuito del giratore utilizzato è il seguente:

e la sua rappresentazione per piccoli segnali è la seguente:

ho messo in evidenza le correnti ed utilizzando i metodi delle tensioni ai nodi e delle correnti di maglia riesco a rappresentarlo con il sistema di quattro equazioni lineari in quattro incognite qui sotto.

semplificando otteniamo

la soluzione non è proprio semplice ed è tutt’altro che corta potete darla da digerire a wolphram/alpha, oppure potete calcolarla a mano, sperando di non incappare in uno dei classici errori di svista che renderebbero vane ore di calcoli.
a noi interessa solo i₁

sappiamo che 

ma poiché lavoriamo su un solo quadrante possiamo assumere che 

  quindi la sostituzione che faremo sarà

e la nostra soluzione sarà:

come possiamo vedere la situazione è tutt’altro che semplice e la formula a meno di avere una calcolatrice scientifica in cui inserirla è praticamente inutilizzabile. Se ancora siete qui a leggere cercherò di semplificare le cose nei paragrafi seguenti fino ad arrivare alla formula iniziale semplificata.

IL GIRATORE: TRATTAZIONE PRATICA

Qui ci vengono in aiuto la mentalità dell’ingegnere, un po’ di buonsenso e la semplificazione: ipotizzando un condensatore di almeno una decina di microfarad, a 100Hz, che è la frequenza dell’ondulazione residua ( ripple ) che vogliamo eliminare, questo ha una impedenza di un centinaio di ohm, QUINDI molto più bassa di R2,   e quindi ai fini del calcolo R2 può essere trascurata.
il nostro circuito diviene quindi il seguente:

—- NOTA!! per quanto riguarda la polarizzazione del MosFet R2 è invece ESSENZIALE, mentre C non va considerato Il circuito equivalente è quindi il seguente e le formule relative sono queste:

Sostituendo e semplificando

sappiamo che

quindi

e semplificando ulteriormente

a noi interessa una formula che assomigli a quella dell’induttanza reale e che sia dipendente da C quindi qualcosa del tipo

la nostra induttanza è quindi

e ignorando anche 1/Gm che è trascurabile rispetto a R3 otteniamo che il valore dell’induttanza simulata è

L = C*R1*R3

Di gran lunga una formula ampiamente utilizzabile che permette ottimi filtraggi senza ricorrere a capacità estremamente costose o peggio ancora se si utilizzassero induttanze fisiche dal costo, peso e ingombro non indifferenti in caso ti alimentatori per valvolari.

Saluti Amilcare