Teorema di Nyquist-Shannon

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Comprensione dei sistemi campionati

Il teorema di campionamento di Nyquist, o più precisamente il teorema di Nyquist-Shannon, è un principio teorico fondamentale che regola la progettazione di sistemi elettronici a segnale misto.

La tecnologia moderna come la conosciamo non esisterebbe senza la conversione da analogico a digitale e la conversione da digitale ad analogico. In effetti, queste operazioni sono diventate così comuni che sembra una verità dire che un segnale analogico può essere convertito in digitale e tornare in analogico senza alcuna significativa perdita di informazioni.

Ma come facciamo a sapere che è davvero così? Perché il campionamento è un’operazione non distruttiva, quando sembra scartare così tanto comportamento del segnale che osserviamo tra i singoli campioni?

Come mai possiamo iniziare con un segnale simile a questo:

E digitalizzalo in questo:

E poi osare affermare che il segnale originale può essere ripristinato senza perdita di informazioni?

Il teorema di Nyquist-Shannon

Tale affermazione è possibile perché è coerente con uno dei principi più importanti della moderna ingegneria elettrica:

Se un sistema campiona uniformemente un segnale analogico a una frequenza che supera la frequenza più alta del segnale di almeno un fattore due, il segnale analogico originale può essere perfettamente recuperato dai valori discreti prodotti dal campionamento.

C’è molto di più da dire su questo teorema, ma prima proviamo a capire come chiamarlo.

Shannon? Nyquist? Kotelnikov? Whittaker?

Non sarò certo io a decidere chi merita più credito per la formulazione, la dimostrazione o la spiegazione della teoria di campionamento e interpolazione di Shannon – Nyquist – Kotelnikov – Whittaker. Tutti e quattro questi individui hanno avuto una sorta di coinvolgimento di primo piano.

Tuttavia, sembra che il ruolo di Harry Nyquist sia stato esteso oltre il suo significato originale. Ad esempio, in Digital Signal Processing: Fundamentals and Applications di Tan and Jiang, il principio sopra indicato è identificato come il “teorema del campionamento di Shannon”, e nei circuiti microelettronici di Sedra e Smith, trovo la seguente frase: “Il fatto che noi può eseguire la nostra elaborazione su un numero limitato di campioni … mentre ignorare i dettagli del segnale analogico tra i campioni si basa sul … teorema di campionamento di Shannon. “

Pertanto, probabilmente dovremmo evitare di usare “il teorema del campionamento di Nyquist” o “la teoria del campionamento di Nyquist”. Se dobbiamo associare un nome a questo concetto, suggerisco di includere solo Shannon o sia Nyquist che Shannon. E in effetti, forse è tempo di passare a qualcosa di più anonimo, come “Teorema del campionamento fondamentale”.

Questo è un po’ disorientante ma, ricorda che il teorema del campionamento sopra indicato è distinto dal tasso di Nyquist, che verrà spiegato più avanti nell’articolo. Non penso che qualcuno stia cercando di separare Nyquist dal suo ritmo, quindi finiamo con un buon compromesso: Shannon ottiene il teorema e Nyquist ottiene il tasso.

Dominio del tempo

Se applichiamo il teorema di campionamento a una sinusoide di frequenza f SIGNAL , dobbiamo campionare la forma d’onda in f SAMPLE ≥ 2f SIGNAL se vogliamo consentire una ricostruzione perfetta. 

Un altro modo per dirlo è che abbiamo bisogno di almeno due campioni per ciclo sinusoidale. Proviamo innanzitutto a comprendere questo requisito pensando nel dominio del tempo.

Nel diagramma seguente, la sinusoide viene campionata ad una frequenza che è molto più alta della frequenza del segnale.

Ogni cerchio rappresenta un istante di campionamento, cioè un momento preciso in cui la tensione analogica viene misurata e convertita in un numero. Per visualizzare meglio ciò che questa procedura di campionamento ci ha fornito, possiamo tracciare i valori del campione e quindi collegarli con linee rette. L’approssimazione in linea retta mostrata nel diagramma successivo si presenta esattamente come il segnale originale: la frequenza di campionamento è molto alta rispetto alla frequenza del segnale e, di conseguenza, i segmenti di linea non sono notevolmente diversi dai corrispondenti segmenti sinusoidi curvi.

Quando riduciamo la frequenza di campionamento, l’aspetto dell’approssimazione in linea retta differisce dall’originale.

20 campioni per ciclo (f SAMPLE = 20f SIGNAL )

10 campioni per ciclo (f SAMPLE = 10f SIGNAL )

5 campioni per ciclo (f SAMPLE = 5f SIGNAL )

A f SAMPLE = 5f SIGNAL , la forma d’onda a tempo discreto non è più una rappresentazione piacevole della forma d’onda a tempo continuo. Tuttavia, si noti che possiamo ancora identificare chiaramente la frequenza della forma d’onda a tempo discreto. La natura ciclica del segnale non è andata persa.

La soglia: due campioni per ciclo

I punti dati prodotti dal campionamento continueranno a conservare la natura ciclica del segnale analogico mentre diminuiamo il numero di campioni per ciclo al di sotto di cinque. Tuttavia, alla fine raggiungiamo un punto in cui le informazioni sulla frequenza sono danneggiate. Considera la seguente figura:

2 campioni per ciclo (f SAMPLE = 2f SIGNAL )

Con f SAMPLE = 2f SIGNAL , la forma sinusoidale è completamente scomparsa. Tuttavia, l’onda triangolare creata dai punti dati campionati non ha alterato la natura ciclica fondamentale della sinusoide. La frequenza dell’onda triangolare è identica alla frequenza del segnale originale.

Tuttavia, non appena riduciamo la frequenza di campionamento al punto in cui ci sono meno di due campioni per ciclo, questa affermazione non può più essere fatta. Due campioni per ciclo, per la più alta frequenza nella forma d’onda originale, sono quindi una soglia di importanza cruciale nei sistemi a segnali misti e la frequenza di campionamento corrispondente è chiamata frequenza di Nyquist:

Se campioniamo un segnale analogico a una frequenza inferiore alla frequenza di Nyquist, non saremo in grado di ricostruire perfettamente il segnale originale. 

I grafici seguenti mostrano la perdita di equivalenza ciclica che si verifica quando la frequenza di campionamento scende al di sotto del tasso di Nyquist.

2 campioni per ciclo (f SAMPLE = 2f SIGNAL )

1,9 campioni per ciclo (f SAMPLE = 1.9f SIGNAL )

A f SAMPLE = 1.9f SIGNAL , la forma d’onda a tempo discreto ha acquisito un comportamento ciclico sostanzialmente nuovo. La ripetizione completa del pattern campionato richiede più di un ciclo sinusoidale.

Tuttavia, l’effetto di una frequenza di campionamento insufficiente è alquanto difficile da interpretare quando abbiamo 1,9 campioni per ciclo. La trama successiva rende la situazione più chiara.

1,1 campioni per ciclo (f SAMPLE = 1.1f SIGNAL )

Se non sapessi nulla di una sinusoide e eseguissi un’analisi usando la forma d’onda del tempo discreto risultante dal campionamento a 1.1f SIGNAL , formeresti idee seriamente errate sulla frequenza del segnale originale. Inoltre, se tutto ciò che hai sono i dati discreti, è impossibile sapere che le caratteristiche di frequenza sono state corrotte. Il campionamento ha creato una nuova frequenza che non era presente nel segnale originale, ma non sai che questa frequenza non era presente.

La linea di fondo è questa: quando campioniamo a frequenze inferiori alla frequenza di Nyquist, le informazioni vengono perse in modo permanente e il segnale originale non può essere perfettamente ricostruito.

Dominio della frequenza

Abbiamo visto che le caratteristiche di frequenza di una sinusoide vengono irrimediabilmente perse quando la forma d’onda viene campionata a una frequenza che non fornisce almeno due campioni per ciclo. In altre parole, non possiamo ricostruire perfettamente la sinusoide se campioniamo a una frequenza inferiore alla frequenza di Nyquist.

La maggior parte dei segnali, tuttavia, non sono sinusoidi a frequenza singola. Ad esempio, un segnale RF modulato ha frequenze associate alla portante e alla forma d’onda della banda base e un segnale audio che rappresenta il parlato umano che coprirà un intervallo di frequenze. 

Usiamo la trasformata di Fourier per visualizzare il contenuto in frequenza di un segnale. I grafici nel dominio del tempo sono un buon modo per trasmettere l’effetto di una frequenza di campionamento insufficiente nel contesto di un segnale a singola frequenza, ma per altri tipi di segnali, preferirei usare il dominio della frequenza.

Effetto dominio-frequenza del campionamento

Diciamo che vogliamo digitalizzare un segnale audio che include una miscela di molte frequenze diverse all’interno di un intervallo specificato. Il limite superiore dell’intervallo è definito come f MAX e supponiamo che l’intervallo si estenda fino alla corrente continua, anche se non possiamo sentire frequenze così basse. La trasformata di Fourier di un tale segnale potrebbe assomigliare a questa:

Campionamento matematico nel dominio del tempo

Nel regno matematico, il campionamento ideale equivale a moltiplicare la forma d’onda del dominio del tempo originale per un treno di funzioni delta separate da un intervallo pari a 1 / f SAMPLE , che chiameremo T SAMPLE . (Per il resto dell’articolo, useremo f S per f SAMPLE e T S per T SAMPLE). Questa moltiplicazione fa sì che il segnale campionato sia zero tra le funzioni delta e mantenga il valore del segnale originale in ogni punto nel tempo che coincide con una funzione delta.

Il campionamento nel dominio del tempo è implementato matematicamente: moltiplichiamo il segnale analogico per una sequenza di funzioni delta che si verificano alla frequenza di campionamento.

Campionamento matematico nel dominio della frequenza

In che modo questa procedura di campionamento nel dominio del tempo influenza la rappresentazione nel dominio della frequenza di un segnale? Diamo un’occhiata.

La prima cosa da ricordare è che la moltiplicazione nel dominio del tempo diventa una convoluzione nel dominio della frequenza. Pertanto, possiamo trovare la trasformata di Fourier del segnale campionato contorcendo la trasformata di Fourier del segnale originale con la trasformata di Fourier delle funzioni delta.

Si scopre che la trasformata di Fourier di un treno delta-funzione è un treno delta-funzione. La differenza è che le funzioni delta sono separate da una distanza orizzontale corrispondente alla frequenza di campionamento piuttosto che al periodo di campionamento.

Lo spettro di una sequenza di funzioni delta separate dal periodo di campionamento è una sequenza di funzioni delta separate dalla frequenza di campionamento. 

Quando contiamo lo spettro delle funzioni delta con lo spettro del segnale originale, creiamo copie dello spettro originale che vengono spostate in base alla posizione delle funzioni delta. Pertanto, lo spettro di un segnale campionato è costituito da più “sottospettri” identici che sono centrati su ± f S , ± 2f S , ± 3f S e così via.

Una frequenza di campionamento adeguata si traduce in sottospettri che sono spostati abbastanza per mantenere la separazione completa. 

Ora disponiamo delle informazioni di cui abbiamo bisogno per confermare il teorema di Nyquist-Shannon tramite analisi nel dominio della frequenza. Questo teorema, come l’ho espresso prima, è il seguente:

Se un sistema campiona uniformemente un segnale analogico a una frequenza che supera la frequenza più alta del segnale di almeno un fattore due, il segnale analogico originale può essere perfettamente recuperato dai valori discreti prodotti dal campionamento.

A causa della porzione di frequenza negativa della trasformata di Fourier, la larghezza di banda matematica completa del segnale originale è 2f MAX . Pertanto, al fine di garantire che i sotto-spetti non si sovrappongano, dobbiamo spostarli di almeno 2f MAX . In altre parole, la frequenza di campionamento deve essere superiore alla frequenza massima del segnale di almeno un fattore due.

Se questa condizione è soddisfatta, il segnale originale può essere perfettamente ricostruito. Perché? Perché lo spettro originale non è stato modificato e possiamo eliminare gli altri sotto-spetti attraverso il filtro passa-basso.  Se la condizione non viene soddisfatta, i sotto-spetti si sovrappongono, lo spettro originale viene modificato e nessun filtro passa basso ripristinerà il segnale originale.

Aliasing

La sovrapposizione di sottospetti è il motivo per cui le informazioni sono danneggiate quando utilizziamo una frequenza di campionamento inferiore alla frequenza di Nyquist. Le sezioni sovrapposte dei sottospetti si combinano per aggiunta; se proviamo a separare lo spettro originale usando un filtro passa-basso, il contenuto di frequenza nelle bande sovrapposte sarà diverso e, di conseguenza, il segnale nel dominio del tempo sarà diverso.

Il nome ufficiale per questo è aliasing .

Le aree triangolari ombreggiate rappresentano l’aliasing che ha causato un’alterazione spettrale. 

Una delle definizioni del nome “alias” è “un’identità falsa o presunta”. Usiamo il termine “aliasing” perché questo fenomeno di campionamento può far spostare una componente di frequenza in una nuova posizione nello spettro e quindi “mascherare” se stessa come una frequenza diversa.

Lo abbiamo visto nel precedente articolo, in cui il campionamento a 1.1f SIGNAL ha prodotto una forma d’onda a tempo discreto che sembrava avere una frequenza molto inferiore alla frequenza della forma d’onda analogica originale.

Saluti Amilcare

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