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Comprensión de los sistemas muestreados

Teorema de muestreo de Nyquist, o más precisamente el teorema de Nyquist-Shannon, Es un principio teórico fundamental que regula el diseño de sistemas electrónicos de señal mixta..

La tecnología moderna tal como la conocemos no existiría sin la conversión de analógico a digital y sin la conversión de digital a analógico.. de hecho, Estas operaciones se han vuelto tan comunes que parece una verdad decir que una señal analógica se puede convertir a digital y volver a analógica sin ninguna pérdida significativa de información.

¿Pero cómo sabemos que realmente es? Porque el muestreo es una operación no destructiva, cuando parece descartar tanto comportamiento de señal que observamos entre muestras individuales?

¿Cómo es que podemos comenzar con una señal como esta?:

Y digitalizarlo en esto:

Y luego atrévete a decir que la señal original se puede restaurar sin pérdida de información?

Teorema de Nyquist-Shannon

Esta afirmación es posible porque es coherente con uno de los principios más importantes de la ingeniería eléctrica moderna.:

Si un sistema muestrea de manera uniforme una señal analógica a una frecuencia que excede la frecuencia más alta de la señal en al menos un factor de dos, la señal analógica original se puede recuperar perfectamente de los valores discretos producidos por el muestreo.

Hay mucho más que decir sobre este teorema, pero primero intentemos averiguar cómo llamarlo.

Shannon? Nyquist? Kotelnikov? Whittaker?

No voy a decidir quién merece más crédito por la redacción, la demostración o explicación de la teoría de muestreo e interpolación de Shannon - Nyquist - Kotelnikov - Whittaker. Los cuatro individuos tenían algún tipo de participación prominente..

sin embargo, parece que el papel de Harry Nyquist se ha extendido más allá de su significado original. por ejemplo, en Procesamiento de señales digitales: Fundamentos y Aplicaciones di Tan y Jiang, el principio anterior se identifica como el “Teorema de muestreo de Shannon”, y en circuitos microelectrónicos Sedra y Smith, Encuentro la siguiente oración: “El hecho de que podamos realizar nuestro procesamiento en un número limitado de muestras … mientras ignora los detalles de la señal analógica entre las muestras se basa en … Teorema de muestreo de Shannon. “

por lo tanto, probablemente deberíamos evitar usar “Teorema de muestreo de Nyquist” la “Teoría de muestreo de Nyquist”. Si tenemos que asociar un nombre con este concepto, Sugiero incluir solo Shannon o Nyquist y Shannon. Y de hecho, tal vez es hora de pasar a algo más anónimo, ven “Teorema fundamental de muestreo”.

Esto es un poco’ confuso pero, recuerde que el teorema de muestreo indicado anteriormente es distinto de Tasa de Nyquist, que se explicará más adelante en el artículo. No creo que nadie esté tratando de separar a Nyquist de su ritmo., así que terminamos con un buen compromiso: Shannon obtiene el teorema y Nyquist obtiene la tasa.

dominio del Tiempo

Si aplicamos el teorema de muestreo a una sinusoide de frecuencia f _SEÑAL , tenemos que muestrear la forma de onda en f _MUESTRA F 2f _SEÑAL si queremos permitir una reconstrucción perfecta.

Otra forma de decirlo es que necesitamos al menos dos muestras por ciclo sinusoidal.. Primero intentemos comprender este requisito pensando en el dominio del tiempo.

En el siguiente diagrama, la onda sinusoidal se muestrea a una frecuencia que es mucho más alta que la frecuencia de la señal.

Cada círculo representa un instante de muestreo, es decir, un momento preciso cuando se mide el voltaje analógico y se convierte en un número. Para visualizar mejor lo que este procedimiento de muestreo nos ha proporcionado, podemos rastrear los valores de la muestra y luego conectarlos con líneas rectas. La aproximación en línea recta que se muestra en el siguiente diagrama se ve exactamente como la señal original: la frecuencia de muestreo es muy alta en comparación con la frecuencia de la señal e, en consecuencia, los segmentos de línea no son significativamente diferentes de los segmentos sinusoides curvos correspondientes.

Cuando reducimos la frecuencia de muestreo, la apariencia de la aproximación en línea recta difiere de la original.

20 muestras por ciclo (F _MUESTRA = 20f _SEÑAL )

10 muestras por ciclo (F _MUESTRA = 10f _SEÑAL )

5 muestras por ciclo (F _MUESTRA = 5f _SEÑAL )

A f _MUESTRA = 5f _SEÑAL , la forma de onda de tiempo discreto ya no es una representación agradable de la forma de onda de tiempo continuo. sin embargo, tenga en cuenta que todavía podemos identificar claramente el frecuencia de la forma de onda de tiempo discreto. La naturaleza cíclica de la señal no se ha perdido..

El umbral: dos muestras por ciclo

Los puntos de datos producidos por el muestreo continuarán reteniendo la naturaleza cíclica de la señal analógica a medida que disminuimos el número de muestras por ciclo por debajo de cinco. sin embargo, eventualmente llegamos a un punto donde la información de frecuencia está dañada. Considere la siguiente figura:

2 muestras por ciclo (F _MUESTRA = 2f _SEÑAL )

Con f _MUESTRA = 2f _SEÑAL , la forma sinusoidal ha desaparecido por completo. sin embargo, la onda triangular creada por los puntos de datos muestreados no alteró la naturaleza cíclica fundamental de la sinusoide. La frecuencia de la onda triangular es idéntica a la frecuencia de la señal original..

sin embargo, tan pronto como reduzcamos la frecuencia de muestreo al punto en que haya menos de dos muestras por ciclo, este reclamo ya no se puede hacer. Dos muestras por ciclo, para la frecuencia más alta en la forma de onda original, Por lo tanto, son un umbral crucial en los sistemas de señales mixtas y la frecuencia de muestreo correspondiente se llama frecuencia de Nyquist:

Si tomamos muestras de una señal analógica a una frecuencia inferior a la frecuencia de Nyquist, no podremos reconstruir perfectamente la señal original.

Los siguientes gráficos muestran la pérdida de equivalencia cíclica que ocurre cuando la frecuencia de muestreo cae por debajo de la frecuencia de Nyquist.

2 muestras por ciclo (F _MUESTRA = 2f _SEÑAL )

1,9 muestras por ciclo (F _MUESTRA = 1.9f _SEÑAL )

A f _MUESTRA = 1.9f _SEÑAL , la forma de onda de tiempo discreto ha adquirido un comportamiento cíclico sustancialmente nuevo. La repetición completa del patrón muestreado requiere más de un ciclo sinusoidal.

sin embargo, El efecto de una frecuencia de muestreo insuficiente es algo difícil de interpretar cuando tenemos 1,9 muestras por ciclo. La trama posterior aclara la situación..

1,1 muestras por ciclo (F _MUESTRA = 1.1f _SEÑAL )

Si no sabía nada acerca de una sinusoide y realizó un análisis utilizando la forma de onda de tiempo discreta resultante del muestreo a 1.1f _SEÑAL , formularía ideas seriamente erróneas sobre la frecuencia de la señal original. también, si todo lo que tienes son datos discretos, es imposible saber que las características de frecuencia han sido corrompidas. El muestreo creó una nueva frecuencia que no estaba presente en la señal original, pero no sabes que esta frecuencia no estaba presente.

La conclusión es la siguiente: cuando tomamos muestras a frecuencias inferiores a la frecuencia de Nyquist, la información se pierde permanentemente y la señal original no se puede reconstruir perfectamente.

Dominio de la frecuencia

Hemos visto que las características de frecuencia de una sinusoide se pierden irreparablemente cuando la forma de onda se muestrea a una frecuencia que no proporciona al menos dos muestras por ciclo. En otras palabras, no podemos reconstruir perfectamente la sinusoide si tomamos muestras a una frecuencia inferior a la frecuencia de Nyquist.

La mayoría de los signos, sin embargo, no son sinusoides de frecuencia única. por ejemplo, una señal de RF modulada tiene frecuencias asociadas con la portadora y la forma de onda de la banda base y una señal de audio que representa el habla humana que cubrirá un rango de frecuencias.

Usamos la transformada de Fourier para mostrar el contenido de frecuencia de una señal. Los gráficos de dominio de tiempo son una buena manera de transmitir el efecto de una frecuencia de muestreo insuficiente en el contexto de una señal de frecuencia única, pero para otros tipos de señales, Prefiero usar el dominio de frecuencia.

Efecto de frecuencia de dominio del muestreo

Digamos que queremos digitalizar una señal de audio que incluye una mezcla de muchas frecuencias diferentes dentro de un rango específico. El límite superior del intervalo se define como f _MAX y supongamos que el intervalo se extiende a corriente continua, incluso si no podemos escuchar frecuencias tan bajas. La transformación de Fourier de tal señal podría verse así:

Muestreo matemático en el dominio del tiempo.

En el reino matemático, el muestreo ideal es equivalente a multiplicar la forma de onda del dominio de tiempo original por un tren de funciones delta separadas por un intervalo igual a 1 / F _MUESTRA , que llamaremos T _MUESTRA . (Por el resto del artículo, usaremos f _S por f _MUESTRA e T _S por T _MUESTRA). Esta multiplicación hace que la señal muestreada sea cero entre las funciones delta y mantiene el valor de la señal original en cualquier momento que coincida con una función delta.

El muestreo del dominio del tiempo se implementa matemáticamente: multiplicamos la señal analógica por una secuencia de funciones delta que ocurren a la frecuencia de muestreo.

Muestreo matemático en el dominio de la frecuencia.

Cómo este procedimiento de muestreo en el dominio del tiempo afecta la representación de frecuencia de una señal? Veamos.

Lo primero que debe recordar es que la multiplicación en el dominio del tiempo se convierte en una convolución en el dominio de la frecuencia.. por lo tanto, podemos encontrar la transformada de Fourier de la señal muestreada girando la transformada de Fourier de la señal original con la transformada de Fourier de las funciones delta.

Resulta que la transformación de Fourier de un tren con función delta es un tren con función delta. La diferencia es que las funciones delta están separadas por una distancia horizontal correspondiente a frecuencia de muestreo en lugar de al periodo de muestreo.

El espectro de una secuencia de funciones delta separadas del período de muestreo es una secuencia de funciones delta separadas de la frecuencia de muestreo.

Cuando contamos el espectro de funciones delta con el espectro de la señal original, creamos copias del espectro original que se mueven de acuerdo con la posición de las funciones delta. por lo tanto, El espectro de una señal muestreada consta de varios “sottospettri” idénticos que se centran en ± f _S , ± 2f _S , ± 3f _S y así.

La frecuencia de muestreo adecuada da como resultado subespecies que se desplazan lo suficiente como para mantener una separación completa.

Ahora tenemos la información que necesitamos para confirmar el teorema de Nyquist-Shannon a través del análisis del dominio de frecuencia. Este teorema, como lo expresé antes, es el siguiente:

Si un sistema muestrea de manera uniforme una señal analógica a una frecuencia que excede la frecuencia más alta de la señal en al menos un factor de dos, la señal analógica original se puede recuperar perfectamente de los valores discretos producidos por el muestreo.

Debido a la porción de frecuencia negativa de la transformada de Fourier, el ancho de banda matemático completo de la señal original es 2f _MAX . por lo tanto, para garantizar que los subconjuntos no se superpongan, tenemos que moverlos al menos 2f _MAX . En otras palabras, la frecuencia de muestreo debe ser mayor que la frecuencia de señal máxima en al menos un factor de dos.

Si se cumple esta condición, la señal original se puede reconstruir perfectamente. ¿Por qué? Debido a que el espectro original no ha cambiado y podemos eliminar los otros subconjuntos a través del filtro de paso bajo. Si no se cumple la condición, los sub-aspectos se superponen, se cambia el espectro original y ningún filtro de paso bajo restaurará la señal original.

Aliasing

La superposición de subespecies es la razón por la cual la información se daña cuando usamos una frecuencia de muestreo inferior a la frecuencia de Nyquist. Las secciones superpuestas de los sospechosos secundarios se combinan mediante la suma; si tratamos de separar el espectro original usando un filtro de paso bajo, el contenido de frecuencia en las bandas superpuestas será diferente e, en consecuencia, la señal en el dominio del tiempo será diferente.

El nombre oficial para esto es alias .

Las áreas triangulares sombreadas representan el alias que causó una alteración espectral..

Una de las definiciones del nombre. “alias” es “una identidad falsa o presunta”. Usamos el término “alias” porque este fenómeno de muestreo puede hacer que un componente de frecuencia se mueva a una nueva posición en el espectro y, por lo tanto, “enmascarar” a sí mismo como una frecuencia diferente.

Lo vimos en el artículo anterior., donde el muestreo a 1.1f _{SIGNAL ha} produjo una forma de onda de tiempo discreto que parecía tener una frecuencia mucho más baja que la frecuencia de la forma de onda analógica original.

saludos Amilcare