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了解采样系统

奈奎斯特采样定理, 或更准确地说是奈奎斯特-香农定理, 这是调节混合信号电子系统设计的基本理论原理.

我们知道，没有模数转换和数模转换就不会存在现代技术. 其实, 这些操作变得如此普遍，以至于可以说模拟信号可以转换为数字信号并返回模拟信号而不会造成任何重大信息损失，这似乎是一个事实。.

但是我们怎么知道真的是? 因为采样是非破坏性的操作, 当它似乎抛弃了如此多的信号行为，以至于我们在各个样本之间观察到了?

我们怎么能从这样的信号开始:

然后将其数字化:

然后敢说原始信号可以恢复 不丢失信息?

奈奎斯特-香农定理

这种说法是可能的，因为它与现代电气工程最重要的原理之一相一致:

如果系统以超过信号最高频率至少两倍的频率对模拟信号进行均匀采样, 原始模拟信号可以从采样产生的离散值中完美恢复.

关于这个定理还有更多要说的, 但首先让我们尝试找出该怎么称呼.

香农? 奈奎斯特? 科捷尔尼科夫? 惠特克?

我不会决定谁的用语应该得到最多的称赞, 香农采样和内插理论的论证或解释-奈奎斯特-科特尔尼科夫-惠特克. 所有这四个人都有某种突出的参与.

然而, 哈里·奈奎斯特（Harry Nyquist）的角色似乎已经超出了其本义. 例如, 在 数字信号处理: 基本原理和应用 di Tan and Jiang, 上述原则被确定为 “香农采样定理”, 和在 微电子电路 塞德拉和史密斯, 我发现以下句子: “我们可以对有限数量的样本执行处理的事实 … 而忽略采样之间的模拟信号的细节是基于 … 香农采样定理. “

因此, 我们应该避免使用 “奈奎斯特采样定理” 该 “奈奎斯特采样理论”. 如果我们必须将名称与此概念相关联, 我建议仅包括香农，或者同时包括奈奎斯特和香农. 的确, 也许是时候转向更匿名的东西了, 来 “基本抽样定理”.

这有点’ 令人困惑，但, 请记住，上面指出的采样定理与 奈奎斯特率, 稍后将在文章中进行解释. 我认为没有人试图将奈奎斯特与自己的节奏区分开, 所以我们最终做出了很好的妥协: 香农得到定理，奈奎斯特得到速率.

时域

如果我们将采样定理应用于频率为f的正弦曲线 _信号 , 我们必须在f中采样波形 _样品 2楼 _信号 如果我们想进行完美的重建.

换句话说，每个正弦周期至少需要两个样本. 我们首先尝试通过思考时间来理解这一要求.

在下图中, 正弦波的采样频率远高于信号频率.

每个圆圈代表一个采样时刻, 也就是精确的时刻，在其中测量模拟电压并将其转换为数字. 为了更好地可视化此采样过程为我们提供了什么, 我们可以追踪样品的值，然后用直线将它们连接起来. 下图所示的直线近似值看起来与原始信号完全一样: 与信号频率e相比，采样频率非常高, 于是, 线段与相应的弯曲正弦曲线段无明显差异.

当我们降低采样率, 直线近似的外观与原始图像不同.

20 每个周期的样本 (F _样品 = 20f _信号 )

10 每个周期的样本 (F _样品 = 10f _信号 )

5 每个周期的样本 (F _样品 = 5f _信号 )

f _样品 = 5f _信号 , 离散时间波形不再是连续时间波形的令人满意的表示. 然而, 请注意，我们仍然可以清楚地识别出 频率 离散时间波形. 信号的周期性没有丢失.

门槛: 每个周期两个样本

采样产生的数据点将继续保持模拟信号的循环特性，因为我们将每个周期的采样数减少到五个以下. 然而, 最终我们到达了频率信息受损的地步. 考虑下图:

2 每个周期的样本 (F _样品 = 2f _信号 )

与f _样品 = 2f _信号 , 正弦形状已完全消失. 然而, 采样数据点产生的三角波不会改变正弦曲线的基本周期性. 三角波的频率与原始信号的频率相同.

然而, 一旦我们将采样率降低到每个周期少于两个采样点, 无法再提出此要求. 每个周期两个样本, 原始波形中的最高频率, 因此，它们是混合信号系统中的关键阈值，相应的采样频率称为奈奎斯特频率:

如果我们以低于奈奎斯特频率的频率采样模拟信号, 我们将无法完美地重建原始信号.

下图显示了当采样率降至奈奎斯特率以下时发生的循环等效性损失.

2 每个周期的样本 (F _样品 = 2f _信号 )

1,9 每个周期的样本 (F _样品 = 1.9英尺 _信号 )

f _样品 = 1.9英尺 _信号 , 离散波形已经获得了新的周期性行为. 采样模式的完全重复需要一个以上的正弦周期.

然而, 当我们有采样频率不足时，很难解释 1,9 每个周期的样本. 随后的情节使情况更加清晰.

1,1 每个周期的样本 (F _样品 = 1.1分 _信号 )

如果您对正弦波一无所知，并使用以1.1f采样得到的离散时间波形进行分析 _信号 , 您将对原始信号的频率提出严重错误的想法. 还, 如果您只有离散数据, 不可能知道频率特性已损坏. 采样创建了一个原始信号中不存在的新频率, 但是你不知道这个频率不存在.

底线是这个: 当我们以低于奈奎斯特频率的频率采样时, 信息永久丢失，原始信号无法完美重建.

频域

我们已经看到，当以每个周期至少提供两次采样的频率采样波形时，正弦曲线的频率特性会不可避免地丢失. 换句话说, 如果以低于奈奎斯特频率的频率采样，我们将无法完美地重建正弦波.

大多数迹象, 然而, 它们不是单频正弦波. 例如, 调制的RF信号具有与载波和基带波形相关的频率以及代表人类语音的音频信号，该信号将覆盖该频率范围.

我们使用傅立叶变换来显示信号的频率内容. 时域图是在单个频率信号的情况下传达采样率不足的影响的好方法, 但对于其他类型的信号, 我宁愿使用频域.

采样的频域效应

假设我们要数字化音频信号，其中包括指定范围内许多不同频率的混合信号. 间隔的上限定义为f _最大值 并假设间隔扩展到直流, 即使我们听不到这么低的频率. 这样的信号的傅立叶变换看起来像这样:

时域中的数学采样

在数学领域, 理想的采样等效于将原始时域的波形乘以一系列间隔等于 1 / F _样品 , 我们将其称为T _样品 . (对于本文的其余部分, 我们将使用f _小号 每f _样品 T _小号 对于T _样品). 这种相乘导致采样信号在增量函数之间为零，并在与增量函数一致的任何时间点保持原始信号的值.

时域采样是通过数学方式实现的: 我们将模拟信号乘以以采样率出现的一系列增量函数.

频域中的数学采样

时域采样过程如何影响信号的频率表示? 让我们来看看.

首先要记住的是，时域的乘法变成了频域的卷积. 因此, 我们可以通过将原始信号的傅立叶变换与增量函数的傅立叶变换进行扭曲来找到采样信号的傅立叶变换.

事实证明，三角函数列车的傅立叶变换是三角函数列车. 区别在于，增量函数之间的水平距离为 频率 抽样而不是铝 的时期 采样.

与采样周期分开的一系列德尔塔函数的频谱是与采样频率分开的一系列德尔塔函数.

当我们用原始信号的频谱来计算增量函数的频谱时, 我们创建原始光谱的副本，这些副本根据增量函数的位置移动. 因此, 采样信号的频谱包括几个 “Sottospettri” 以±f为中心的相同 _小号 , ±2f _小号 , ±3f _小号 等等.

足够的采样频率导致亚种的位移足以维持完全分离.

现在我们有了通过频域分析来确认Nyquist-Shannon定理所需的信息. 这个定理, 正如我之前所说, 以下是:

如果系统以超过信号最高频率至少两倍的频率对模拟信号进行均匀采样, 原始模拟信号可以从采样产生的离散值中完美恢复.

由于傅立叶变换的负频率部分, 原始信号的完整数学带宽为2f _最大值 . 因此, 确保子集不重叠, 我们必须将它们移动至少2f _最大值 . 换句话说, 采样率必须大于最大信号频率至少两倍.

如果满足此条件, 原始信号可以完美地重建. 为什么? 因为原始频谱没有改变，所以我们可以通过低通滤波器消除其他子集. 如果不满足条件, 子方面重叠, 原始频谱被更改，没有低通滤波器将恢复原始信号.

混叠

当我们使用低于奈奎斯特频率的采样频率时，亚种的重叠是信息受损的原因. 子范围的重叠部分通过加法合并; 如果我们尝试使用低通滤波器分离原始频谱, 重叠频带中的频率内容将不同, 于是, 时域中的信号会有所不同.

官方名称是 混叠 .

阴影的三角形区域表示引起光谱变化的混叠.

名称的定义之一 “别名” 它是 “虚假或推测的身份”. 我们用这个词 “混叠” 因为这种采样现象会导致频率分量移动到频谱中的新位置，因此 “面膜” 本身就是不同的频率.

我们在上一篇文章中看到了, 在1.1f采样 _信号哈 产生了一个离散时间波形，其频率似乎远低于原始模拟波形的频率.

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