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Compreensão dos sistemas amostrados

Teorema da amostra de Nyquist, ou mais precisamente o teorema de Nyquist-Shannon, é um princípio teórico fundamental que regula o design de sistemas eletrônicos de sinais mistos.

A tecnologia moderna como a conhecemos não existiria sem conversão analógica para digital e conversão digital para analógica. na verdade, essas operações tornaram-se tão comuns que parece verdade dizer que um sinal analógico pode ser convertido em digital e retornar ao analógico sem perda significativa de informações.

Mas como sabemos que realmente é? Porque a amostragem é uma operação não destrutiva, quando parece descartar tanto comportamento do sinal que observamos entre amostras individuais?

Como é que podemos começar com um sinal como este:

E digitalize para isso:

E então ouso dizer que o sinal original pode ser restaurado sem perda de informação?

Teorema de Nyquist-Shannon

Essa alegação é possível porque é consistente com um dos princípios mais importantes da engenharia elétrica moderna:

Se um sistema amostrar uniformemente um sinal analógico em uma frequência que exceda a frequência mais alta do sinal em pelo menos um fator de dois, o sinal analógico original pode ser perfeitamente recuperado dos valores discretos produzidos pela amostragem.

Há muito mais a dizer sobre esse teorema, mas primeiro vamos tentar descobrir como chamá-lo.

Shannon? Nyquist? Kotelnikov? Whittaker?

Não vou decidir quem merece mais crédito pela redação, a demonstração ou explicação da teoria de amostragem e interpolação de Shannon - Nyquist - Kotelnikov - Whittaker. Todos os quatro indivíduos tiveram algum tipo de envolvimento proeminente.

contudo, parece que o papel de Harry Nyquist foi estendido além do seu significado original. por exemplo, dentro Processamento de sinal digital: Fundamentos e aplicações di Tan e Jiang, o princípio acima é identificado como o “Teorema de amostragem de Shannon”, e em circuitos microeletrônicos Sedra e Smith, Eu encontro a seguinte frase: “O fato de podermos executar nosso processamento em um número limitado de amostras … ignorando os detalhes do sinal analógico entre as amostras é baseado em … Teorema de amostragem de Shannon. “

portanto, provavelmente devemos evitar usar “Teorema da amostra de Nyquist” o “Teoria de amostragem de Nyquist”. Se tivermos que associar um nome a esse conceito, Sugiro incluir apenas Shannon ou Nyquist e Shannon. E realmente, talvez seja hora de passar para algo mais anônimo, venha “Teorema fundamental da amostragem”.

Isso é um pouco’ confuso, mas, lembre-se de que o teorema da amostragem indicado acima é distinto Taxa Nyquist, que será explicado mais adiante neste artigo. Não acho que alguém esteja tentando separar Nyquist de seu ritmo, então acabamos com um bom compromisso: Shannon pega o teorema e Nyquist pega a taxa.

domínio do Tempo

Se aplicarmos o teorema da amostragem a um sinusóide de frequência f _SINAL , temos que provar a forma de onda em f _AMOSTRA F 2f _SINAL se queremos permitir uma reconstrução perfeita.

Outra maneira de dizer é que precisamos de pelo menos duas amostras por ciclo sinusoidal. Vamos primeiro tentar entender esse requisito pensando no domínio do tempo.

No diagrama a seguir, a onda senoidal é amostrada a uma frequência muito superior à frequência do sinal.

Cada círculo representa um instante de amostragem, isto é, um momento preciso em que a tensão analógica é medida e convertida em um número. Para visualizar melhor o que esse procedimento de amostragem nos forneceu, podemos rastrear os valores da amostra e depois conectá-los com linhas retas. A aproximação de linha reta mostrada no diagrama a seguir se parece exatamente com o sinal original: a frequência de amostragem é muito alta em comparação com a frequência do sinal e, conformemente, os segmentos de linha não são significativamente diferentes dos segmentos sinusóides curvos correspondentes.

Quando reduzimos a taxa de amostragem, a aparência da aproximação da linha reta difere da original.

20 amostras por ciclo (f _AMOSTRA = 20f _SINAL )

10 amostras por ciclo (f _AMOSTRA = 10f _SINAL )

5 amostras por ciclo (f _AMOSTRA = 5f _SINAL )

A f _AMOSTRA = 5f _SINAL , a forma de onda em tempo discreto não é mais uma representação agradável da forma de onda em tempo contínuo. contudo, note que ainda podemos identificar claramente o freqüência da forma de onda em tempo discreto. A natureza cíclica do sinal não foi perdida.

O limiar: duas amostras por ciclo

Os pontos de dados produzidos pela amostragem continuarão retendo a natureza cíclica do sinal analógico à medida que diminuímos o número de amostras por ciclo abaixo de cinco. contudo, eventualmente chegamos a um ponto em que as informações de frequência são danificadas. Considere a figura a seguir:

2 amostras por ciclo (f _AMOSTRA = 2f _SINAL )

Com f _AMOSTRA = 2f _SINAL , a forma sinusoidal desapareceu completamente. contudo, a onda triangular criada pelos pontos de dados amostrados não alterou a natureza cíclica fundamental da sinusóide. A frequência da onda triangular é idêntica à frequência do sinal original.

contudo, assim que reduzimos a taxa de amostragem até o ponto em que há menos de duas amostras por ciclo, essa reivindicação não pode mais ser feita. Duas amostras por ciclo, para a frequência mais alta na forma de onda original, são, portanto, um limiar crucial em sistemas de sinais mistos e a frequência de amostragem correspondente é chamada frequência de Nyquist:

Se amostrarmos um sinal analógico em uma frequência menor que a frequência de Nyquist, não conseguiremos reconstruir perfeitamente o sinal original.

Os gráficos a seguir mostram a perda de equivalência cíclica que ocorre quando a taxa de amostragem cai abaixo da taxa de Nyquist.

2 amostras por ciclo (f _AMOSTRA = 2f _SINAL )

1,9 amostras por ciclo (f _AMOSTRA = 1.9f _SINAL )

A f _AMOSTRA = 1.9f _SINAL , a forma de onda em tempo discreto adquiriu um comportamento cíclico substancialmente novo. A repetição completa do padrão amostrado requer mais de um ciclo sinusoidal.

contudo, o efeito de uma frequência de amostragem insuficiente é um pouco difícil de interpretar quando temos 1,9 amostras por ciclo. A trama subsequente torna a situação mais clara.

1,1 amostras por ciclo (f _AMOSTRA = 1.1f _SINAL )

Se você não sabia nada sobre um senoide e fez uma análise usando a forma de onda de tempo discreta resultante da amostragem em 1.1f _SINAL , você formularia idéias seriamente erradas sobre a frequência do sinal original. também, se tudo o que você tem são dados discretos, é impossível saber que as características de frequência foram corrompidas. A amostragem criou uma nova frequência que não estava presente no sinal original, mas você não sabe que essa frequência não estava presente.

A linha inferior é esta: quando amostramos em frequências abaixo da frequência de Nyquist, a informação é perdida permanentemente e o sinal original não pode ser perfeitamente reconstruído.

Domínio de frequência

Vimos que as características de frequência de um sinusóide são perdidas irreparavelmente quando a forma de onda é amostrada a uma frequência que não fornece pelo menos duas amostras por ciclo. Em outras palavras, não podemos reconstruir perfeitamente o sinusóide se amostrarmos em uma frequência menor que a frequência de Nyquist.

A maioria dos sinais, contudo, eles não são sinusoides de frequência única. por exemplo, um sinal de RF modulado possui frequências associadas à portadora e à forma de onda da banda base e um sinal de áudio que representa a fala humana que cobrirá uma faixa de frequência.

Usamos a transformada de Fourier para exibir o conteúdo de frequência de um sinal. Os gráficos no domínio do tempo são uma boa maneira de transmitir o efeito de uma taxa de amostragem insuficiente no contexto de um único sinal de frequência, mas para outros tipos de sinais, Prefiro usar o domínio da frequência.

Efeito de frequência de domínio da amostragem

Digamos que queremos digitalizar um sinal de áudio que inclua uma mistura de muitas frequências diferentes dentro de um intervalo especificado. O limite superior do intervalo é definido como f _MAX e suponha que o intervalo se estenda à corrente direta, mesmo que não possamos ouvir frequências tão baixas. A transformação de Fourier de um sinal desse tipo poderia se parecer com isso:

Amostragem matemática no domínio do tempo

No domínio matemático, a amostragem ideal é equivalente à multiplicação da forma de onda do domínio do tempo original por um trem de funções delta separadas por um intervalo igual a 1 / f _AMOSTRA , que chamaremos de T _AMOSTRA . (Para o restante do artigo, vamos usar f _S por f _AMOSTRA e T _S para T _AMOSTRA). Essa multiplicação faz com que o sinal amostrado seja zero entre as funções delta e mantém o valor do sinal original em qualquer ponto no tempo que coincida com uma função delta.

A amostragem no domínio do tempo é implementada matematicamente: multiplicamos o sinal analógico por uma sequência de funções delta que ocorrem na taxa de amostragem.

Amostragem matemática no domínio da frequência

Como esse procedimento de amostragem no domínio do tempo afeta a representação de frequência de um sinal? Vamos olhar.

A primeira coisa a lembrar é que a multiplicação no domínio do tempo se torna uma convolução no domínio da frequência. portanto, podemos encontrar a transformada de Fourier do sinal amostrado girando a transformada de Fourier do sinal original com a transformada de Fourier das funções delta.

Acontece que a transformada de Fourier de um trem de função delta é um trem de função delta. A diferença é que as funções delta são separadas por uma distância horizontal correspondente a frequência de amostragem em vez de todos período de amostragem.

O espectro de uma sequência de funções delta separada do período de amostragem é uma sequência de funções delta separada da frequência de amostragem.

Quando contamos o espectro de funções delta com o espectro do sinal original, criamos cópias do espectro original que são movidas de acordo com a posição das funções delta. portanto, o espectro de um sinal amostrado consiste em vários “sottospettri” idênticos centrados em ± f _S , ± 2f _S , ± 3f _S e assim por diante.

A frequência de amostragem adequada resulta em subespécies que são deslocadas o suficiente para manter a separação completa.

Agora temos as informações necessárias para confirmar o teorema de Nyquist-Shannon através da análise no domínio da frequência. Esse teorema, como eu expressei antes, é o seguinte:

Se um sistema amostrar uniformemente um sinal analógico em uma frequência que exceda a frequência mais alta do sinal em pelo menos um fator de dois, o sinal analógico original pode ser perfeitamente recuperado dos valores discretos produzidos pela amostragem.

Devido à porção de frequência negativa da transformada de Fourier, a largura de banda matemática completa do sinal original é 2f _MAX . portanto, para garantir que os subconjuntos não se sobreponham, temos que movê-los pelo menos 2f _MAX . Em outras palavras, a frequência de amostragem deve ser pelo menos um fator dois maior que a freqüência máxima de sinal.

Se esta condição for atendida, o sinal original pode ser perfeitamente reconstruído. Porquê? Como o espectro original não foi alterado e podemos eliminar os outros subconjuntos pelo filtro passa-baixo. Se a condição não for atendida, os sub-aspectos se sobrepõem, o espectro original é alterado e nenhum filtro passa-baixo restaurará o sinal original.

Alias

A sobreposição de subespécies é a razão pela qual as informações são danificadas quando usamos uma frequência de amostragem menor que a frequência de Nyquist. As seções sobrepostas dos sub-suspeitos são combinadas pela adição; se tentarmos separar o espectro original usando um filtro passa-baixo, o conteúdo da frequência nas bandas sobrepostas será diferente e, conformemente, o sinal no domínio do tempo será diferente.

O nome oficial para isso é alias .

As áreas triangulares sombreadas representam o aliasing que causou uma alteração espectral.

Uma das definições do nome “pseudônimo” é “uma identidade falsa ou presumida”. Nós usamos o termo “alias” porque esse fenômeno de amostragem pode fazer com que um componente de frequência mude para uma nova posição no espectro e, portanto, “mascarar” -se como uma frequência diferente.

Vimos no artigo anterior, onde amostragem em 1.1f _{SINAL ha} produziu uma forma de onda em tempo discreto que parecia ter uma frequência muito menor que a frequência da forma de onda analógica original.

Greetings Amilcare