ナイキスト・シャノンの定理

サンプリングされたシステムの理解

ナイキストの標本化定理, より正確にはナイキスト・シャノンの定理, 混合信号電子システムの設計を左右する基本的な理論原理.

アナログからデジタルへの変換とデジタルからアナログへの変換がなければ存在し得ないことを私たちが知っている現代の技術. 実際、, これらの操作は非常に一般的になっているため、情報を大幅に失うことなく、アナログ信号をデジタルに変換してアナログに戻すことができるのは事実です.

しかし、どうやってそれが本当にあるのかを知るには? サンプリングは非破壊的な操作なので, 個々のサンプル間で観測するほど多くの信号動作を破棄するように見えるとき?

どうしてこのような信号から始められるのか:

これをデジタル化して:

そして、あえて元の信号を復元できると言う 情報を失うことなく?

ナイキスト・シャノンの定理

この主張は、現代の電気工学の最も重要な原則の1つと一致しているために可能です。:

システムが信号の最高周波数を少なくとも2倍超える周波数でアナログ信号を均一にサンプリングする場合, 元のアナログ信号は、サンプリングによって生成された離散値から完全に復元できます.

この定理について言うことはもっとたくさんあります, しかし、最初にそれを何と呼ぶかを考えてみましょう.

シャノン? ナイキスト? コテルニコフ? ウィテカー?

私は言葉遣いで最も信用に値する人を決定するつもりはありません, シャノンのサンプリングおよび補間理論のデモンストレーションまたは説明-ナイキスト-コテルニコフ-ウィテカー. これらの4人すべてに、ある種の顕著な関与がありました。.

但し, ハリー・ナイキストの役割が本来の意味を超えて拡張されているようです. 例えば, に デジタル信号処理: 基礎とアプリケーション タンとジャン, 上記の原則は、 “シャノンのサンプリング定理”, そして マイクロエレクトロニクス回路 セドラとスミス, 次の文を見つけます: “限られた数のサンプルで処理を実行できるという事実 … サンプル間のアナログ信号の詳細を無視する一方で、 … シャノンのサンプリング定理. “

故に, 私たちはおそらく使用を避けるべきです “ナイキストの標本化定理” インクルード “ナイキストサンプリング理論”. この概念に名前を関連付ける必要がある場合, シャノンのみ、またはナイキストとシャノンの両方を含めることをお勧めします. 本当に, 多分それはより匿名の何かに移る時です, 来ます “基本的なサンプリング定理”.

これは少しです’ 混乱するが, 上記のサンプリング定理は、 ナイキスト率, 記事の後半で説明します. ナイキストをリズムから切り離そうとしている人はいないと思います, だから私たちは良い妥協で終わります: シャノンは定理を取得し、ナイキストはレートを取得します.

時間領域

サンプリング定理を周波数fの正弦波に適用すると _信号 , 波形をfでサンプリングする必要があります _サンプル F 2f _信号完璧な再構築を可能にしたい場合.

別の言い方をすると、正弦波サイクルごとに少なくとも2つのサンプルが必要です。. 時間の領域で考えることによってこの要件を最初に理解してみましょう.

次の図では, 正弦波は信号周波数よりもはるかに高い周波数でサンプリングされます.

各円はサンプリングの瞬間を表します, つまり、アナログ電圧が測定されて数値に変換される正確な瞬間. このサンプリング手順によって提供されたものをよりよく視覚化するため, サンプルの値を追跡して、それらを直線で結ぶことができます. 次の図に示す直線近似は、元の信号とまったく同じです: サンプリング周波数は信号周波数eに比べて非常に高い, それに応じて, ラインセグメントは、対応する湾曲した正弦波セグメントと大幅に異なりません。.

サンプリングレートを下げると, 直線近似の外観が元の外観と異なります.

20 サイクルあたりのサンプル (F _サンプル = 20f _信号 )

10 サイクルあたりのサンプル (F _サンプル = 10f _信号 )

5 サイクルあたりのサンプル (F _サンプル = 5f _信号 )

A f _サンプル = 5f _信号 , 離散時間波形は、連続時間波形の快適な表現ではなくなりました. 但し, まだ明確に識別できることに注意してください 周波数 離散時間波形の. 信号の周期的な性質は失われていない.

しきい値: サイクルごとに2つのサンプル

サイクルごとのサンプル数を5未満に減らしても、サンプリングによって生成されるデータポイントは、アナログ信号の周期的な性質を維持し続けます. 但し, 最終的に、周波数情報が損傷するポイントに到達します. 次の図を検討してください:

2 サイクルあたりのサンプル (F _サンプル = 2f _信号 )

f付き _サンプル = 2f _信号 , 正弦波の形は完全に消えました. 但し, サンプリングされたデータポイントによって作成された三角波は、正弦波の基本的な周期的な性質を変更しませんでした. 三角波の周波数は元の信号の周波数と同じです.

但し, サイクルあたりのサンプル数が2未満になるポイントまでサンプリングレートを下げるとすぐ, この主張はもはやできません. サイクルごとに2つのサンプル, 元の波形の最高周波数, したがって、これらは混合信号システムの重要なしきい値であり、対応するサンプリング周波数はナイキスト周波数と呼ばれます:

ナイキスト周波数よりも低い周波数でアナログ信号をサンプリングする場合, 元の信号を完全に再構成することはできません.

次のグラフは、サンプリングレートがナイキストレートを下回ったときに発生する循環等価の損失を示しています。.

2 サイクルあたりのサンプル (F _サンプル = 2f _信号 )

1,9 サイクルあたりのサンプル (F _サンプル = 1.9f _信号 )

A f _サンプル = 1.9f _信号 , 離散時間波形は、実質的に新しい周期的な動作を獲得しました. サンプリングされたパターンを完全に繰り返すには、複数の正弦波サイクルが必要です.

但し, 不十分なサンプリング周波数の影響は、 1,9 サイクルあたりのサンプル. その後のプロットは状況をより明確にします.

1,1 サイクルあたりのサンプル (F _サンプル = 1.1f _信号 )

正弦波について何も知らず、1.1fでサンプリングした結果の離散時間波形を使用して分析を実行した場合 _信号 , あなたは元の信号の周波数について深刻な間違った考えを定式化するでしょう. さらに, あなたが持っているすべてが離散データである場合, 周波数特性が崩れていることを知ることは不可能です. サンプリングにより、元の信号にはなかった新しい周波数が作成されました, しかし、あなたはこの周波数が存在しなかったことを知りません.

一番下の行はこれです: ナイキスト周波数より低い周波数でサンプリングする場合, 情報は永久に失われ、元の信号を完全に再構築することはできません.

周波数領域

サイクルごとに少なくとも2つのサンプルを提供しない周波数で波形をサンプリングすると、正弦波の周波数特性が回復不能に失われることがわかりました. 言い換えれば、, ナイキスト周波数よりも低い周波数でサンプリングすると、正弦波を完全に再構築することはできません.

ほとんどの兆候, 但し, それらは単一周波数の正弦波ではありません. 例えば, 変調されたRF信号は、キャリアとベースバンド波形に関連付けられた周波数と、周波数範囲をカバーする人間のスピーチを表すオーディオ信号.

フーリエ変換を使用して、信号の周波数成分を表示します. 時間領域グラフは、単一の周波数信号のコンテキストで不十分なサンプリングレートの影響を伝えるための良い方法です, しかし、他のタイプの信号の場合, 周波数領域を使用したい.

サンプリングのドメイン周波数効果

指定された範囲内の多くの異なる周波数の混合を含むオーディオ信号をデジタル化したいとしましょう. 間隔の上限はfとして定義されます _MAX そして、間隔が直流に拡張すると仮定します, こんなに低い周波数が聞こえなくても. このような信号のフーリエ変換は次のようになります:

時間領域での数学的サンプリング

数学の領域で, 理想的なサンプリングは、元の時間領域の波形を、 1 / F _サンプル , これをTと呼びます _サンプル . (記事の残りの部分, fを使用します _S fあたり _サンプル e T _S T用 _サンプル). この乗算により、サンプリングされた信号はデルタ関数間でゼロになり、デルタ関数と一致する任意の時点で元の信号の値を維持します.

時間領域サンプリングは数学的に実装されています: サンプリングレートで発生する一連のデルタ関数をアナログ信号に乗算します.

周波数領域での数学的サンプリング

この時間領域サンプリング手順が信号の周波数表現に与える影響? 見てみましょう.

最初に覚えておくべきことは、時間領域での乗算が周波数領域でのたたみ込みになることです。. 故に, 元の信号のフーリエ変換をデルタ関数のフーリエ変換でツイストすることにより、サンプル信号のフーリエ変換を見つけることができます.

デルタ関数列のフーリエ変換はデルタ関数列であることがわかります. 違いは、デルタ関数は、 の頻度 アルではなくサンプリング の期間 サンプリング.

サンプリング周期とは別の一連のデルタ関数のスペクトルは、サンプリング周波数とは別の一連のデルタ関数です。.

元の信号のスペクトルでデルタ関数のスペクトルを数えるとき, デルタ関数の位置に従って移動される元のスペクトルのコピーを作成します. 故に, サンプリングされた信号のスペクトルは、いくつかの “sottospettri” ±fを中心とする同一 _S , ±2f _S , ±3f _S 等々.

十分なサンプリング頻度により、完全な分離を維持するのに十分なほど変位した亜種が発生.

これで、周波数領域分析を通じてナイキストシャノンの定理を確認するために必要な情報が得られました。. この定理, 前に言ったように, 次は:

フーリエ変換の負の周波数部分のため, 元の信号の完全な演算帯域幅は2fです _MAX . 故に, サブセットが重複しないようにする, それらを少なくとも2f移動する必要があります _MAX . 言い換えれば、, サンプリングレートは、最大信号周波数より少なくとも2倍大きい必要があります。.

この条件が満たされている場合, 元の信号を完全に再構築できます. 何故? 元のスペクトルは変更されておらず、ローパスフィルターを通じて他のサブセットを除去できるため. 条件が満たされていない場合, サブアスペクトは重複しています, 元のスペクトルが変更され、ローパスフィルターが元の信号を復元しない.

エイリアシング

亜種の重複は、ナイキスト周波数よりも低いサンプリング周波数を使用すると情報が破損する理由です. サブ容疑者の重複するセクションは、追加によって結合されます; ローパスフィルターを使って元のスペクトルを分離しようとすると, 重なり合う帯域の周波数成分は異なりますe, それに応じて, 時間領域の信号は異なります.

これの正式名称は エイリアシング .