Théorème de Nyquist-Shannon

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Compréhension des systèmes échantillonnés

Théorème d'échantillonnage de Nyquist, ou plus précisément le théorème de Nyquist-Shannon, c'est un principe théorique fondamental qui régit la conception de systèmes électroniques à signaux mixtes.

La technologie moderne telle que nous la connaissons n'existerait pas sans conversion analogique-numérique et conversion numérique-analogique. En effet, ces opérations sont devenues si courantes qu'il semble vrai de dire qu'un signal analogique peut être converti en numérique et revenir en analogique sans perte significative d'informations.

Mais comment savons-nous que c'est vraiment? Parce que l'échantillonnage est une opération non destructive, quand il semble éliminer autant de comportement du signal que nous observons entre les échantillons individuels?

Comment se fait-il que nous puissions commencer avec un signal comme celui-ci:

Et numérisez-le dans ce:

Et puis oser dire que le signal d'origine peut être restauré sans perte d'informations?

Théorème de Nyquist-Shannon

Cette affirmation est possible car elle est conforme à l'un des principes les plus importants de l'électrotechnique moderne:

Si un système échantillonne uniformément un signal analogique à une fréquence qui dépasse la fréquence la plus élevée du signal d'au moins un facteur deux, le signal analogique d'origine peut être parfaitement récupéré à partir des valeurs discrètes produites par échantillonnage.

Il y a beaucoup plus à dire sur ce théorème, mais essayons d'abord de trouver comment l'appeler.

Shannon? Nyquist? Kotelnikov? Whittaker?

Je ne vais pas décider qui mérite le plus de crédit pour le libellé, la démonstration ou l'explication de la théorie d'échantillonnage et d'interpolation de Shannon - Nyquist - Kotelnikov - Whittaker. Ces quatre personnes ont eu une sorte de participation importante.

Toutefois, il semble que le rôle de Harry Nyquist a été étendu au-delà de sa signification d'origine. par exemple, dans Traitement des signaux numériques: Fondements et applications di Tan et Jiang, le principe ci-dessus est identifié comme “Théorème d'échantillonnage de Shannon”, et en circuits microélectroniques Sedra et Smith, Je trouve la phrase suivante: “Le fait que nous puissions effectuer notre traitement sur un nombre limité d'échantillons … tout en ignorant les détails du signal analogique entre les échantillons est basé sur … Théorème d'échantillonnage de Shannon. “

donc, nous devrions probablement éviter d'utiliser “Théorème d'échantillonnage de Nyquist” la “Théorie de l'échantillonnage de Nyquist”. Si nous devons associer un nom à ce concept, Je suggère d'inclure uniquement Shannon ou Nyquist et Shannon. Et en effet, il est peut-être temps de passer à quelque chose de plus anonyme, viens “Théorème d'échantillonnage fondamental”.

C'est un peu’ déroutant mais, rappelez-vous que le théorème d'échantillonnage indiqué ci-dessus est distinct de Taux de Nyquist, qui sera expliqué plus loin dans l'article. Je ne pense pas que quiconque essaie de séparer Nyquist de son rythme, on se retrouve donc avec un bon compromis: Shannon obtient le théorème et Nyquist obtient le taux.

Time Domain

Si nous appliquons le théorème d'échantillonnage à une sinusoïde de fréquence f SIGNAL , nous devons échantillonner la forme d'onde en f ÉCHANTILLON F 2f SIGNAL si nous voulons permettre une reconstruction parfaite.

Une autre façon de le dire est que nous avons besoin d'au moins deux échantillons par cycle sinusoïdal. Essayons d'abord de comprendre cette exigence en pensant dans le domaine du temps.

Dans le schéma suivant, l'onde sinusoïdale est échantillonnée à une fréquence beaucoup plus élevée que la fréquence du signal.

Chaque cercle représente un instant d'échantillonnage, c'est-à-dire un moment précis où la tension analogique est mesurée et convertie en un nombre. Pour mieux visualiser ce que cette procédure d'échantillonnage nous a fourni, nous pouvons tracer les valeurs de l'échantillon, puis les connecter avec des lignes droites. L'approximation en ligne droite illustrée dans le diagramme suivant ressemble exactement au signal d'origine: la fréquence d'échantillonnage est très élevée par rapport à la fréquence du signal e, en conséquence, les segments de droite ne sont pas significativement différents des segments sinusoïdaux courbes correspondants.

Quand on réduit le taux d'échantillonnage, l'apparence de l'approximation de la ligne droite diffère de l'original.

20 échantillons par cycle (F ÉCHANTILLON = 20f SIGNAL )

10 échantillons par cycle (F ÉCHANTILLON = 10f SIGNAL )

5 échantillons par cycle (F ÉCHANTILLON = 5f SIGNAL )

Un F ÉCHANTILLON = 5f SIGNAL , la forme d'onde en temps discret n'est plus une représentation agréable de la forme d'onde en temps continu. Toutefois, notons que nous pouvons encore identifier clairement fréquence de la forme d'onde en temps discret. La nature cyclique du signal n'est pas perdue.

Le seuil: deux échantillons par cycle

Les points de données produits par l'échantillonnage continueront de maintenir la nature cyclique du signal analogique car nous réduisons le nombre d'échantillons par cycle en dessous de cinq. Toutefois, finalement, nous atteignons un point où les informations de fréquence sont endommagées. Considérez la figure suivante:

2 échantillons par cycle (F ÉCHANTILLON = 2f SIGNAL )

Avec f ÉCHANTILLON = 2f SIGNAL , la forme sinusoïdale a complètement disparu. Toutefois, l'onde triangulaire créée par les points de données échantillonnés n'a pas modifié la nature cyclique fondamentale de la sinusoïde. La fréquence de l'onde triangulaire est identique à la fréquence du signal d'origine.

Toutefois, dès que nous réduisons le taux d'échantillonnage au point où il y a moins de deux échantillons par cycle, cette réclamation ne peut plus être faite. Deux échantillons par cycle, pour la fréquence la plus élevée dans la forme d'onde d'origine, ils sont donc un seuil crucial dans les systèmes de signaux mixtes et la fréquence d'échantillonnage correspondante est appelée fréquence de Nyquist:

Si nous échantillonnons un signal analogique à une fréquence inférieure à la fréquence de Nyquist, nous ne pourrons pas reconstruire parfaitement le signal d'origine.

Les graphiques suivants montrent la perte d'équivalence cyclique qui se produit lorsque le taux d'échantillonnage tombe en dessous du taux de Nyquist.

2 échantillons par cycle (F ÉCHANTILLON = 2f SIGNAL )

1,9 échantillons par cycle (F ÉCHANTILLON = 1,9f SIGNAL )

Un F ÉCHANTILLON = 1,9f SIGNAL , la forme d'onde en temps discret a acquis un comportement cyclique sensiblement nouveau. La répétition complète du motif échantillonné nécessite plus d'un cycle sinusoïdal.

Toutefois, l'effet d'une fréquence d'échantillonnage insuffisante est quelque peu difficile à interpréter lorsque nous avons 1,9 échantillons par cycle. L'intrigue suivante rend la situation plus claire.

1,1 échantillons par cycle (F ÉCHANTILLON = 1,1f SIGNAL )

Si vous ne saviez rien sur une sinusoïde et avez effectué une analyse en utilisant la forme d'onde temporelle discrète résultant de l'échantillonnage à 1.1f SIGNAL , vous formuleriez des idées sérieusement erronées sur la fréquence du signal d'origine. Aussi, si vous n'avez que des données discrètes, il est impossible de savoir que les caractéristiques de fréquence ont été corrompues. L'échantillonnage a créé une nouvelle fréquence qui n'était pas présente dans le signal d'origine, mais vous ne savez pas que cette fréquence n'était pas présente.

La ligne de fond est la suivante: lorsque nous échantillonnons à des fréquences inférieures à la fréquence de Nyquist, l'information est définitivement perdue et le signal d'origine ne peut pas être parfaitement reconstruit.

Domaine de fréquence

Nous avons vu que les caractéristiques de fréquence d'une sinusoïde sont irrémédiablement perdues lorsque la forme d'onde est échantillonnée à une fréquence qui ne fournit pas au moins deux échantillons par cycle. En d'autres termes, nous ne pouvons pas reconstruire parfaitement la sinusoïde si nous échantillonnons à une fréquence inférieure à la fréquence de Nyquist.

La plupart des signes, Toutefois, ce ne sont pas des sinusoïdes à fréquence unique. par exemple, un signal RF modulé a des fréquences associées à la porteuse et à la forme d'onde de la bande de base et un signal audio qui représente la parole humaine qui couvrira une plage de fréquences.

Nous utilisons la transformée de Fourier pour afficher le contenu fréquentiel d'un signal. Les graphiques dans le domaine temporel sont un bon moyen de transmettre l'effet d'une fréquence d'échantillonnage insuffisante dans le contexte d'un signal à fréquence unique, mais pour d'autres types de signaux, Je préfère utiliser le domaine fréquentiel.

Effet de fréquence de domaine de l'échantillonnage

Disons que nous voulons numériser un signal audio qui comprend un mélange de nombreuses fréquences différentes dans une plage spécifiée. La limite supérieure de l'intervalle est définie comme f MAX et supposons que l'intervalle s'étend au courant continu, même si nous n'entendons pas ces basses fréquences. La transformée de Fourier d'un tel signal pourrait ressembler à ceci:

Échantillonnage mathématique dans le domaine temporel

Dans le domaine mathématique, l'échantillonnage idéal équivaut à multiplier la forme d'onde du domaine temporel d'origine par un train de fonctions delta séparées par un intervalle égal à 1 / F ÉCHANTILLON , que nous appellerons T ÉCHANTILLON . (Pour le reste de l'article, nous utiliserons f S par f ÉCHANTILLON e T S pour T ÉCHANTILLON). Cette multiplication fait que le signal échantillonné est nul entre les fonctions delta et maintient la valeur du signal d'origine à tout moment qui coïncide avec une fonction delta.

L'échantillonnage dans le domaine temporel est implémenté mathématiquement: nous multiplions le signal analogique par une séquence de fonctions delta qui se produisent à la fréquence d'échantillonnage.

Échantillonnage mathématique dans le domaine fréquentiel

Comment cette procédure d'échantillonnage dans le domaine temporel affecte la représentation fréquentielle d'un signal? Regardons.

La première chose à retenir est que la multiplication dans le domaine temporel devient une convolution dans le domaine fréquentiel. donc, on peut trouver la transformée de Fourier du signal échantillonné en tordant la transformée de Fourier du signal d'origine avec la transformée de Fourier des fonctions delta.

Il s'avère que la transformée de Fourier d'un train à fonction delta est un train à fonction delta. La différence est que les fonctions delta sont séparées par une distance horizontale correspondant à fréquence de échantillonnage plutôt que al période de échantillonnage.

Le spectre d'une séquence de fonctions delta distinct de la période d'échantillonnage est une séquence de fonctions delta distincte de la fréquence d'échantillonnage.

Quand on compte le spectre des fonctions delta avec le spectre du signal d'origine, nous créons des copies du spectre d'origine qui sont déplacées en fonction de la position des fonctions delta. donc, le spectre d'un signal échantillonné se compose de plusieurs “sottospettri” identiques qui sont centrés sur ± f S , ± 2f S , ± 3f S etc.

Une fréquence d'échantillonnage adéquate entraîne des sous-espèces suffisamment déplacées pour maintenir une séparation complète.

Nous avons maintenant les informations dont nous avons besoin pour confirmer le théorème de Nyquist-Shannon par l'analyse du domaine fréquentiel. Ce théorème, comme je l'ai déjà dit, est le suivant:

Si un système échantillonne uniformément un signal analogique à une fréquence qui dépasse la fréquence la plus élevée du signal d'au moins un facteur deux, le signal analogique d'origine peut être parfaitement récupéré à partir des valeurs discrètes produites par échantillonnage.

En raison de la portion de fréquence négative de la transformée de Fourier, la bande passante mathématique complète du signal d'origine est de 2f MAX . donc, pour s'assurer que les sous-ensembles ne se chevauchent pas, nous devons les déplacer au moins 2f MAX . En d'autres termes, la fréquence d'échantillonnage doit être supérieure à la fréquence maximale du signal d'au moins un facteur deux.

Si cette condition est remplie, le signal d'origine peut être parfaitement reconstruit. pouquoi? Parce que le spectre d'origine n'a pas été modifié et nous pouvons éliminer les autres sous-ensembles via le filtre passe-bas. Si la condition n'est pas remplie, les sous-aspects se chevauchent, le spectre d'origine est modifié et aucun filtre passe-bas ne restaure le signal d'origine.

Aliasing

Le chevauchement des sous-espèces est la raison pour laquelle les informations sont endommagées lorsque nous utilisons une fréquence d'échantillonnage inférieure à la fréquence de Nyquist. Les sections qui se chevauchent des sous-suspects sont combinées par addition; si nous essayons de séparer le spectre d'origine en utilisant un filtre passe-bas, le contenu en fréquence dans les bandes qui se chevauchent sera différent e, en conséquence, le signal dans le domaine temporel sera différent.

Le nom officiel pour cela est aliasing .

Les zones triangulaires ombrées représentent l'aliasing qui a provoqué une altération spectrale.

Une des définitions du nom “alias” il est “une identité fausse ou présumée”. Nous utilisons le terme “aliasing” car ce phénomène d'échantillonnage peut amener une composante fréquentielle à se déplacer vers une nouvelle position dans le spectre et donc “masque” lui-même comme une fréquence différente.

Nous l'avons vu dans l'article précédent, où l'échantillonnage à 1.1f SIGNAL ha produit une forme d'onde en temps discret qui semblait avoir une fréquence beaucoup plus basse que la fréquence de la forme d'onde analogique d'origine.

Amilcare Salutations

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